18.02.2019/№8

image

Научный сотрудник Института математики НАН Беларуси Алексей ВОЙДЕЛЕВИЧ включен в банк данных «100 талантов НАН Беларуси».

Научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Института математики НАН Беларуси Алексей ВОЙДЕЛЕВИЧ добился результатов, которые вносят важный вклад в развитие теории устойчивости и теории показателей Ляпунова. В течение пяти лет молодой ученый преподает в БГУ, ведет занятия в школе юных математиков, а также входит в состав жюри и методической комиссии республиканской олимпиады по математике. Он включен в банк данных «100 талантов НАН Беларуси». Ему слово.

Коэффициенты неправильности Ляпунова, Перрона и Гробмана – числовые характеристики линейной дифференциальной системы, описывающие с разных точек зрения «меру неправильности» системы. Класс правильных систем, введенный А. Ляпуновым еще в конце XIX века, и сегодня остается наиболее используемым из классов систем, для которых задача об условной устойчивости имеет положительное решение.

Полученные автором этих строк результаты касаются исследования трех не связанных между собою кругов вопросов. Первый – это описание взаимоотношений между коэффициентами неправильности Ляпунова, Перрона и Гробмана линейных дифференциальных систем. Второй касается вычисления точных верхних границ подвижности показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с кусочно-непрерывными и ограниченными на временной полуоси коэффициентами при экспоненциально убывающих возмущениях ее коэффициентов. И третий связан с описанием характеристических частот нулей, знаков и корней как функций начального вектора линейных дифференциальных уравнений.

Результаты подробно изложены в журналах «Доклады НАН Беларуси» и «Дифференциальные уравнения».

Кроме этого, представлены формулы вычисления точных верхних границ подвижности каждого из показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы при экспоненциально убывающих возмущениях ее матрицы коэффициентов.

Если первые два круга задач относятся к классическим вопросам теории устойчивости и теории показателей Ляпунова, то следующий связан с относительно новыми введенными в 2004–2006 годах И. Сергеевым, профессором МГУ, верхними и нижними характеристическими частотам нулей, знаков и корней линейных дифференциальных уравнений, называемых в настоящее время частотами Сергеева.

Автором этих строк построены примеры уравнений, множество значений всех верхних частот которых представляют собой всюду разрывные множества. Кроме того, получены оценки сверху номеров бэровских классов частот, рассматриваемых как функции начального вектора решений, и в случае верхних частот установлена неулучшаемость найденных классов. Следствием результата о принадлежности частот классу бэровских функций является утверждение, что множество значений любой из частот является суслинским множеством неотрицательной полуоси расширенной числовой прямой. Это утверждение обращено для верхних частот в предположении принадлежности нуля множеству значений.

Перечисленные результаты о частотах представляют собой существенный вклад в теорию частот Сергееева нулей, знаков и корней линейных дифференциальных уравнений и были высоко оценены представителями московской школы по качественной теории дифференциальных уравнений, в том числе профессором И. Сергеевым.

По результатам о частотах опубликованы четыре работы в журналах «Весці НАН Беларусi», «Доклады НАН Беларуси» и две в «Дифференциаль­ных уравнениях». Международное сотрудничество представлено научной коллабора­цией с математиками Силезского технического университета (Гливице, Польша). Результатами сотрудничества являются многочисленные статьи в зарубежных журналах с высоким импакт-фактором: Discrete and Continuous Dynamical Systems, Systems & Control Letters, Mathe­matische Nachrichten и др.